椭圆是平面上的一种几何图形，其定义基于到两个固定点（焦点）的距离之和与到一个常数（长轴长度）的比较。让我们用数学方式来介绍椭圆。
椭圆的标准方程为：
\[\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1\]其中 \((h, k)\) 是椭圆的中心，\(a\) 和 \(b\) 分别是椭圆的长轴和短轴的长度。椭圆上的点 \((x, y)\) 满足上述方程。
在这个方程中，如果 \(a = b\)，椭圆就变成了圆。而当 \(a\) 大于 \(b\) 时，椭圆的形状更加狭长，长轴在 x 轴上。相反，当 \(b\) 大于 \(a\) 时，椭圆更加扁平，长轴在 y 轴上。
焦点与长轴之间的关系是通过椭圆的离心率来描述的，离心率 \(e\) 的计算公式为：
\[e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}\]离心率是一个衡量椭圆形状的参数，取值范围为 \(0 \leq e < 1\)。当离心率为零时，椭圆是一个圆。
程序定义如下
#[derive(Debug, PartialEq,Clone,Copy)]
struct Ellipse {
h: f64, // 椭圆中心的 x 坐标
k: f64, // 椭圆中心的 y 坐标
a: f64, // 长轴的长度
b: f64, // 短轴的长度
}
椭圆的面积计算使用的是椭圆的标准面积公式。椭圆的面积 \(A\) 可以由椭圆的半长轴 \(a\) 和半短轴 \(b\) 长度计算得到。椭圆的面积公式如下：
\[A = \pi \cdot a \cdot b\]其中，\(\pi\) 是圆周率，约等于 3.14159。 \(a\) 是椭圆的半长轴的长度，\(b\) 是椭圆的半短轴的长度。
程序解如下
// 计算椭圆的面积
pub fn area(&self) -> f64 {
PI * self.a * self.b
}
计算椭圆周长的准确公式较为复杂，通常需要通过数值方法或级数展开进行估算。然而，可以使用椭圆的周长估算公式，该公式提供了一个近似值。
椭圆的周长估算公式为：
\[C \approx \pi \left[ 3(a+b) - \sqrt{(3a + b)(a + 3b)} \right]\]其中，\(a\) 和 \(b\) 分别是椭圆的半长轴和半短轴的长度。
程序解如下
// 估算椭圆的周长
pub fn estimate_circumference(&self) -> f64 {
PI * (3.0 * (self.a + self.b) - ((3.0 * self.a + self.b) * (self.a + 3.0 * self.b)).sqrt())
}
要判断一个点 \((x, y)\) 是否在椭圆上、内部或外部，可以通过将点的坐标代入椭圆的标准方程进行判断。椭圆的标准方程为：
\[\frac + \frac = 1\]其中 \((h, k)\) 是椭圆的中心，\(a\) 和 \(b\) 分别是椭圆的半长轴和半短轴的长度。
点 \((x, y)\) 在椭圆上的条件是：
\[\frac + \frac = 1\]点在椭圆内的条件是：
\[\frac + \frac < 1\]点在椭圆外的条件是：
\[\frac + \frac > 1\]程序解如下
// 判断点和椭圆的关系并返回枚举值
pub fn point_position(&self, x: f64, y: f64) -> PointPosition {
let distance_squared = ((x - self.h) / self.a).powi(2) + ((y - self.k) / self.b).powi(2);
if distance_squared == 1.0 {
PointPosition::OnEllipse
} else if distance_squared < 1.0 {
PointPosition::InsideEllipse
} else {
PointPosition::OutsideEllipse
}
}
椭圆的焦点是与椭圆定义相关的两个特殊点，这两个点对于椭圆的形状起着关键作用。椭圆焦点的坐标可以通过椭圆的参数（半长轴和半短轴的长度）计算得到。
假设椭圆的标准方程为：
\[\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1\]其中 \((h, k)\) 是椭圆的中心，\(a\) 和 \(b\) 分别是椭圆的半长轴和半短轴的长度。椭圆的焦点坐标 \((F_1, F_2)\) 可以通过以下公式计算：
\(F_1 = (h + c, k)\) \(F_2 = (h - c, k)\)
其中，\(c\) 是焦距，可以通过椭圆的长轴和短轴计算：
\[c = \sqrt{a^2 - b^2}\]程序解如下
// 计算椭圆的焦点坐标
pub fn calculate_foci(&self) -> ((f64, f64), (f64, f64)) {
let c = (self.a.powi(2) - self.b.powi(2)).sqrt();
let f1 = (self.h + c, self.k);
let f2 = (self.h - c, self.k);
(f1, f2)
}
椭圆的拟合是通过一组数据点找到与这些点最匹配的椭圆。这个过程通常被称为椭圆拟合或椭圆回归。下面是拟合椭圆的一般步骤，以及相关的数学公式：
收集一组二维数据点 \((x_i, y_i)\)，这些点应该在平面上大致形成一个椭圆形状。
为了使椭圆的拟合更加稳定，可以对数据进行归一化，将数据中心移到原点。计算数据的中心坐标 \((\bar{x}, \bar{y})\)，然后对每个数据点进行平移变换：
\(x_i' = x_i - \bar{x}\) \(y_i' = y_i - \bar{y}\)
对于每个归一化后的数据点 \((x_i', y_i')\)，构建设计矩阵 \(D\)：
\[D = \begin{bmatrix} x_1'^2 & x_1'y_1' & y_1'^2 & x_1' & y_1' \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ x_n'^2 & x_n'y_n' & y_n'^2 & x_n' & y_n' \end{bmatrix}\]构建响应矩阵 \(R\)，其中每个元素为 1：
\[R = \begin{bmatrix} 1 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix}\]通过解线性方程组 \(D \cdot X = R\)，找到参数向量 \(X\)。这可以通过最小二乘法或其他方法来实现。参数向量 \(X\) 包含了椭圆方程的系数。
使用参数向量 \(X\) 中的值重建椭圆方程：
\[ax'^2 + b x'y' + cy'^2 + dx' + ey' + f = 0\]其中，\(a, b, c, d, e, f\) 是参数向量 \(X\) 的元素。
如果数据进行了归一化，将椭圆方程反归一化，以获得在原始坐标系中的椭圆方程。
程序解如下
// 拟合椭圆
fn fit(points: &[(f64, f64)]) -> Option<Ellipse> {
let n = points.len();
if n < 5 {
return None; // 至少需要 5 个点
}
// 归一化数据
let (mean_x, mean_y) = points.iter().fold((0.0, 0.0), |acc, &(x, y)| (acc.0 + x, acc.1 + y));
let mean_x = mean_x / n as f64;
let mean_y = mean_y / n as f64;
let normalized_points: Vec<(f64, f64)> = points
.iter()
.map(|&(x, y)| (x - mean_x, y - mean_y))
.collect();
// 构建设计矩阵
let mut d_matrix: Vec<Vec<f64>> = Vec::with_capacity(n);
for i in 0..n {
let (x, y) = normalized_points[i];
d_matrix.push(vec![x * x, x * y, y * y, x, y]);
}
// 构建响应矩阵
let r_matrix: Vec<Vec<f64>> = vec![vec![1.0; 1]; n];
// 解线性方程组
let result = gauss_elimination(&d_matrix, &r_matrix);
match result {
Some(parameters) => {
// 重建椭圆方程
let a = parameters[0];
let b = parameters[1];
let c = parameters[2];
let d = parameters[3];
let e = parameters[4];
// 反归一化
let h = mean_x - (2.0 * c * d + b * e) / (4.0 * a * c - b.powi(2));
let k = mean_y - (b * d + 2.0 * a * e) / (4.0 * a * c - b.powi(2));
let phi = 0.5 * (c - a).atan2(b);
Some(Ellipse::new(1.0 / a, 1.0 / c, h, k, phi))
}
None => None,
}
}
// 高斯消元法解线性方程组
fn gauss_elimination(a: &Vec<Vec<f64>>, b: &Vec<Vec<f64>>) -> Option<Vec<f64>> {
let n = a.len();
let m = a[0].len();
let mut augmented_matrix = vec![vec![0.0; m + 1]; n];
for i in 0..n {
for j in 0..m {
augmented_matrix[i][j] = a[i][j];
}
augmented_matrix[i][m] = b[i][0];
}
for i in 0..n {
// 高斯消元
for k in i + 1..n {
let factor = augmented_matrix[k][i] / augmented_matrix[i][i];
for j in i..m + 1 {
augmented_matrix[k][j] -= factor * augmented_matrix[i][j];
}
}
}
// 回代
let mut result = vec![0.0; n];
for i in (0..n).rev() {
result[i] = augmented_matrix[i][m];
for j in i + 1..n {
result[i] -= augmented_matrix[i][j] * result[j];
}
result[i] /= augmented_matrix[i][i];
}
Some(result)
}